Évszázados matematikai problémát „törtek fel”

David Hilbert königsbergi (ma Kalinyingrád) matematikus 1900 augusztusában feladta a leckét az utókornak. A párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson tartott előadásában összegyűjtött 23 problémát, amelyeket a 20. század legfontosabb matematikai problémáinak tartott.

Ezek közül néhány fogalommá vált (az 5., a 10. és a 17.), és a 20. század kiemelkedő matematikai teóriáiként tartják őket számon (ezek a kontinuum hipotézis megoldása, az algoritmikus megoldhatatlan problémaseregek felfedezése, valamint az algebrai számelmélet kialakulása).

A legelőször megoldott Hilbert-probléma

Más problémák lökést adtak a matematika egyes ágainak, így a matematikai fizika, a logika és a valószínűségszámítás fejlesztésének. Volt néhány szép, ám kevésbé központi feladat, ilyen volt például a poliéderek átdarabolása.

A probléma eredeti megfogalmazása az volt, hogy két azonos alapú és magasságú tetraéder átdarabolható-e egymásban – közismert, hogy két azonos területű sokszög átdarabolható egymásba. Ez a Hilbert-probléma volt, amelyet leghamarabb megoldottak: Max Dehn német matematikus még ugyanabban az évben megmutatta, hogy a szabályos tetraéder (olyan háromszög alapú piramis, amelynek minden oldala egyenlő) nem darabolható át kockába.

Három probléma a 21. századra maradt

A huszadik század a problémák jelentős részére választ talált, három kérdés – a 6., a 8., és a 16. – viszont napjainkig megoldatlan. Azaz már csak két és fél feladat.

Elin Oxenhielm 22 éves stockholmi diáklány ugyanis a 16. probléma második részére, az úgynevezett polinomiális differenciál egyenletek határkörei problémára (boundary cycles for polynomial differential equations) elképzelhető, hogy megoldást talált. A síkbeli polinomiális vektorterek terén végzett kutatásának eredményére az Elsevier vezető holland tudományos kiadó Nemlineáris Analízis (Nonlinear Analysis) című újságának szerkesztőbizottsága rábólintott, és a megoldást következő számukban közölni fogják – adta hírül a BBC Online.

A diáklány hiszi, hogy a részmegoldás segítségével, már az egész probléma megválaszolható. Az eredmény gyakorlati haszna várhatóan a tudományos és közgazdasági kutatások számítógépes szimulációjában jelentkezik.

A matematika legnagyobb rejtélye a 8. probléma

A megoldatlan problémák közül kiemelkedik még a nyolcas számmal illetett Riemann-hipotézis, amelyet a legtöbb tudós a matematika legnagyobb rejtélyeként tart számon. A problémát Georg Friedrich Bernhard Riemann, szintén königsbergi német matematikus 1859-ben vetette papírra. Riemann életében egyetlen számelméleti cikket írt, és ebben a prímszámok eloszlásával kapcsolatban olyan sejtést fogalmazott meg, amelyet a matematikusok azóta sem tudtak teljeskörűen bizonyítani.

A prímszámoknak, így a kettőnek, háromnak, ötnek vagy hétnek az egyen és önmagán kívül nincs más osztója. Az ókorban a görög Eukleidész bizonyította, hogy végtelen számú prímszám létezik, ám, hogy hol vannak, milyen sorrendben követik egymást, az rejtély. Riemann zéta-függvényével adott egy formulát a prímszámok elhelyezkedésére, ám azt nem bizonyította. Több milliárd számra a formula működik, egy elegáns bizonyítás azonban még várat magára.