Archimédesz fejtörője – Heuréka!

A görög matematikus 22 évszázaddal ezelőtt egy értekezést írt Stomachion címmel, és egy fejtörőt elemzett benne. A mű hamar a feledés homályába merült, és csak töredéke maradt fenn. A problémát most amerikai matematikusok és történészek megoldották.
Archimédesz munkái közül eddig a Stomachion kapta a legkevesebb figyelmet az utókor részéről, tulajdonképpen nem is vették komolyan, gyerek fejtörőnek vélték. Nehezen fért össze ugyanis az Archimédeszről alkotott képpel, hogy a matematikus zseni kirakós játékokkal foglalkozik.
A feladat, amelyről az értekezés szólt, így hangzott: Hányféleképpen tehető össze a 14 szabálytalan sokszög négyzetté?
Az értekezés hányattatott sorsa
Hogy az utókor mennyire nem vette komolyan a művet, azt jól jelzi hányatott sorsa is. Az értekezésből csak a másolatok másolatának másolata, és abból is csak részek állnak a történészek rendelkezésére.
A pergamen másolat, amelyen a középkor számára fennmaradt a probléma 975-ben keletkezett görögül nyelven. A középkorban az iratok hitelességét úgy állapították meg, hogy összevetették a köztudatban kialakult képpel, kiválasztott szakaszok beleférnek-e az alkotóról kreált elképzelésekbe, illetve, hogy a vizsgálót érdeklő speciális részek szerepelnek-e a másolatban. E feltételek alapján az iratot értéktelennek ítélték – számol be Dr. Reviel Netz a Stanfordi Egyetem matematikus-történésznek és csoportjának hosszas kutatómunkájáról a The New York Times.
A XIII. században keresztény szerzetesek, akiknek imádságos könyveikhez pergamenre volt szükségük, lapjaira tépték a másolatot, kimosták a lapokat, félbehajtották, majd vallásos szövegekkel írták tele. Néhány évszázaddal később az írás egy konstantinápolyi monostorba került.
Lehetséges megoldás 1.
1906-ban egy dán tudós, Johan Ludwig Heiberg az isztambuli Szent Sír Templom könyvtárában bukkant a könyvre. Észrevette, hogy az imádságok alatt halványan matematikai írás rejtőzik. Nagyító segítségével lejegyezte, amit tudott, és a könyv kétharmadáról fényképeket is készített.
A görög-török háborúval a könyv ismét kikerült a tudósok látószögéből, és legközelebb csak az 1970-es években bukkant fel egy francia családnál, amely a 1920-as évek elején vásárolta Isztambulban egy piacon. A francia család szerette volna eladni a könyvet, amelyet penész pusztított és összességében nagyon rossz állapotban volt.
Az eltűnt írás rekonstruálása
1998-ban egy amerikai milliárdos vásárolta meg két millió dollárért, aki kölcsönadta a Baltimore-i Walters Art Museumnak. Dr. Netz és kis csoportja ekkor kezdett hozzá a kézirat rekonstruálásához. Nem volt egyszerű munka, szabad szemmel már semmi sem látszott az eredeti matematikai feljegyzésekből.
Ultraviola sugarakkal sikerült az írást halványan felfedniük, de a kézirat még így is tele volt hiányzó karakterekkel, amelyek vagy láthatatlanok voltak, vagy a penész tűntette el őket.
Lehetséges megoldás 2.
Ezután számítógépes képalkotással próbálkoztak, amelynek lényege az volt, hogy „zajokat” kiemelve az írásból és görög betűkkel kiegészítve igyekeztek a képernyőre varázsolni a szöveget. A kutatók felhasználták a múlt századi dán tudós fotóit, és saját görög nyelvtudásukat is beleadták. A végeredmény azonban még így is csak egy sejtés volt.
Ekkor azonban a szerencse Dr. Netz és társai segítségére sietett: egy nyugalmazott kaliforniai üzletember, aki a világhálón olvasott próbálkozásukról, elküldte nekik a 14 részből álló kirakó modelljét. Hirtelen világossá vált, miről is ír Archimédesz.
Az utókor nagy félreértése
Az utókor legnagyobb félreértése az volt, hogy úgy értelmezték Archimédesz feladatát, mintha a matematikus arra csodálkozott volna rá, hogy mennyi különböző alakzatot lehet kirakni a 14 szabálytalan sokszög segítségével.
Elefánt – nem jó megoldás
Pedig nem!
Archimédesz arra volt kíváncsi, hogy a szabálytalan sokszögekből hányféleképpen lehet kitenni egy szabályos, egyenlő oldalú négyszöget, a négyzetet.
A feladat azért is csodálatos, mert Archimédeszt e szerint foglalkoztatta a kombinatorika, azaz, hogy egy adott problémát hányféleképpen lehet megoldani, miközben a matematikának ez a területe csak a számítástechnika kezdetén bontakozott ki igazán.
A feladat megoldása
Dr. Netz az Archimédeszi probléma megoldására felkért két, valószínűségszámítással foglalkozó matematikus házaspárt, valamint egy programozót, hogy számítógépes program segítségével a matematikusok eredményétől függetlenül is találjanak megoldást.
A válasz mindkét módszerrel 17.152 lett, azaz a 14 darab szabálytalan sokszög ennyiféleképpen rakható össze négyzetté.
Hogy Archimédesz megoldotta-e a problémát? Dr. Netz biztos benne, ám, hogy a helyes megoldásra jutott-e, arra már nem esküdne meg.