Megoldódott a prímszám-sorozatok rejtélye

A modern matematikai bizonyítások esetében az emberek 99, 9 százaléka többnyire magát a problémát sem érti. Nem így van ez a prímszámok esetében. Az általános iskola óta tudjuk, hogy prímszámnak azokat a természetes számokat nevezzük, amelyek egyen és önmagukon kívül más számmal nem oszthatók. Ilyen például az 5, 11 vagy az 53. Velük szemben a többi természetes szám előállítható osztói szorzataként: 60= 2 x 2 x 3 x 5.

Már a görögök tudták, hogy végtelen számú prímszám létezik – ezt Eukleidész 2300 évvel ezelőtt bizonyította az Elemek című művében. A mai napig amatőr és profi matematikusok kedvelt szórakozása egyre nagyobb prímszámok felfedezése: a jelenlegi világrekord már 7.235.733 számjegyből áll.

Számtani sorozatok

Úgy tűnik, két matematikusnak most azt is sikerült bebizonyítani, hogy a prímszámokból álló számtani sorozatok tetszőleges hosszúságúak lehetnek, és végtelen számú ilyen sorozat létezik. Ha a bizonyítás helyes, a számelmélet körében óriási sikernek számítana.

A számtani sorozat elemeinek különbsége állandó. Például a 2, 6, 10, 14, 18, 22 sorozat 6 elemből áll, és a két szomszédos eleme közötti különbség 4. A 163, 193, 223 sorozat három elemből áll, és az elemek közötti különbség harminc. Míg az első sorozat tetszőleges számú elemmel bővíthető, a második, amely kizárólag prímszámokból áll nem bővíthető további elemekkel. 223+30=253 – a 253 nem prímszám, 11-gyel és 23-mal is osztható.

A matematikusokat közel kétszáz éve foglalkoztatja, hány tagból állhat egy prímszámokból álló sorozat, és hány ilyen sorozat létezik.

1939-ben a holland matematikus, Johannes van der Corput bebizonyította, hogy háromtagú, prímszámokból álló számtani sorozatból, mint például a 3, 5, 7 vagy a 47, 53, 59, végtelen számú létezik. Ám, hogy tetszőleges számú tagból állhat egy ilyen sorozat, és végtelen számú sorozat létezik minden tetszőleges számúból, azt most sikerült Ben Green (University of British Columbia, Vancouver) és Terence Tao (University of California, Los Angeles) matematikusoknak bizonyítaniuk.

22 elemből áll az eddigi leghosszabb sorozat

Bár a probléma megértése nem okoz gondot laikusoknak sem, valószínűleg nem így van ez a 49 oldalas, a magas matematika nyelvén íródott bizonyítással. A bizonyítás sajnos olyan értelemben nem konstruktív, hogy csupán a létezését bizonyítja a tetszőleges számú prímszámból álló számtani sorozatoknak, illetve hogy ezekből végtelen számú lehet, olyan formulát nem ad az érdeklődök kezébe, amellyel ezek a sorozatok megjósolhatók. Ez a kutatási terület még nyitott a nagy számok kedvelői előtt. Jelenleg a prímszámokból álló leghosszabb sorozat 22 elemből áll. Két ilyen sorozatot ismerünk.

Egy hüvelykujjszabállyal azonban tudunk segítséget nyújtani azoknak, akik prímszám-sorozatokat akarnak előállítani. Bizton állíthatjuk, hogy ha hat elemből álló sorozatot szeretnénk, akkor a tagok közötti különbség legalább 30 vagy sokszorosa. A 30 a 6-nál kisebb prímszámok (1, 2, 3, 5) szorzatából áll össze. Ha 15-tagból álló sorozatot szeretnénk, akkor a tagok közötti különbség legalább 2x3x5x7x11x13 = 30 030.