Ezek a világ legigazságosabb dobókockái

Pontot tehettek egy több mint másfél évtizede megoldatlan matematikai kérdésre – számol be a Live Science. A szakértők öt, egyenként 60 oldalú dobókockát terveztek, amelyekkel tetszőleges számú játékos igazságosan döntheti el, ki kezd.

A történet 2010 körül kezdődött egy társasjátékos rendezvény vacsoráján. James Ernest játéktervező azt kérdezte matematikus barátjától, Eric Harshbargertől, meg lehet-e úgy számozni a kockákat, hogy két vagy akár öt játékos is egyszerűen dobjon egyet, és a legnagyobb értéket elérő játékosnak pontosan ugyanakkora esélye legyen a kezdésre, mint bárki másnak, miközben döntetlen és újradobás sem jöhetett szóba.

„A legszórakoztatóbb matematikai feladatok közé azok tartoznak, amelyek könnyen érthetők, de nem könnyű megválaszolni őket” – mondta Eric Harshbarger, az Auburni Egyetem matematikusa. Az igazi kihívást az jelentette, hogy bármelyik játékos bármelyik játékszert választhassa, és minden lehetséges összeállításban azonos esélyei legyenek.

Legyél Te is előfizetőnk!Tetszik a National Geographic online tartalma? A nyomtatott magazinban további, máshol nem elérhető történeteket és fotókat találsz. Aktuális előfizetési akciónkról itt tájékozódhatsz.

„Az egyszerű rész az, hogy elkerüljük a döntetlent, ehhez csak különböző számokat kell tenni a dobókockákra. A problémát az okozza, hogy miként osszuk el ezeket a különböző számokat a kockák között úgy, hogy ne csak az egész készlet, hanem bármely részhalmaz is egyenlő esélyeket adjon” – nyilatkozta a szakember.

Harshbarger és gyermekkori barátja, Robert Ford néhány héten belül megtalálta a háromjátékos változatot: három hagyományos, hatoldalú kockán osztották el az 1 és 18 közötti számokat a megfelelő módon. Később Ford kézzel kidolgozta a négy játékos számára használható, négy darab 12 oldalú kockából álló készletet is.

A kutatás során azonban kiderült, hogy ezek a kockák ennél is többre képesek: nem pusztán azt biztosítják, hogy minden játékosnak ugyanakkora esélye legyen elsőnek lenni, hanem a teljes játéksorrend is igazságos. Négy játékos esetén például az A–B–C–D sorrend pontosan ugyanolyan valószínű, mint bármely másik lehetséges variáció. A szakértők ezt permutációs igazságosságnak nevezték el.

Így születtek meg a legigazságosabb kockák

Az öt játékosra alkalmazható megoldás ugyanakkor jóval nehezebbnek bizonyult. A lehetséges számozások száma körülbelül 10¹²⁸ volt, vagyis meghaladta a világegyetem becsült atomjainak számát. A teljes keresést ezért nem lehetett egyszerűen számítógépes erővel elvégezni.

A megoldást végül nem ő Harshbarger, hanem egy kanadai szoftvermérnök, Paul Meyer találta meg. 2023 közepén felvette a kapcsolatot Harshbargerrel, miután tanulmányozta a négyjátékos megoldás adatait, és olyan programot készített, amely kihasználta az azokban rejlő mintázatokat. A módszer működött: Meyer azonosította azt az elrendezést, amely minden feltételnek megfelel.

A végeredmény öt, egyenként 60 oldalú kocka, amelyek az 1-től 300-ig terjedő egész számokat pontosan egyszer tartalmazzák. Bármelyik játékosokból álló csoport választja is ki a kockákat, mindenkinek azonos esélye lesz az első helyre, és a teljes sorrend is egyenletesen oszlik el.

„Az volt a célom, hogy olyan, öt játékoshoz használható készlet szülessen, amelyet ténylegesen le is lehet gyártani, kézbe lehet venni, és amelyet társasjátékosok megvásárolhatnak és használhatnak” – mondta Harshbarger. „Egy 180 oldalú kockával ezt nem lehet megtenni.”

A különleges dobókockákból végül monumentális változatok is készültek: Harshbarger öt óriási példányt faragott különböző fákból – fenyőből, nyárfából, tölgyből, dióból és mahagóniból. A szoborszerű kockákat az Auburni Egyetem új matematikai épületében állították ki.